INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Caso 1

INTEGRAL	IDENTIDAD	ALTERNATIVAS ELEMENTALES
∫senNxcosMxdx	cos2x + sen2x = 1	1) N = M, entero (+) impar 2) N y M, enteros (+) pares
∫tanNxsecMxdx	1 + tan2x = sec2x	1) N entero (+) impar o     M entero (+) par 2) N entero (+) par y     M entero (+) impar
∫ctgNxcscMxdx	1 + ctg2x = csc2x	1) N entero (+) impar o     M entero (+) par 2) N entero (+) par y     M entero (+) impar

La alternativa 1) conduce a integrales de la forma:

∫[f(x)]^bf(x)dx          Integral indirecta

La alternativa 1) conduce a integrales de la forma:

∫[f(x)]^bdx        │Fórmulas de recursión y recurrencia

                      │Identidades trigonométricas del ángulo doble

siendo f(x) una función trigonométrica

Ejemplo:

I = ∫ctg³x*csc^3/2xdx

I = ∫ctgx*ctg²x*csc^1/2x*cscxdx

I = ∫(csc²x  - 1)*csc^1/2x*(cscx*ctgx)dx

I = ∫csc^5/2x*(cscx*ctgx)dx - ∫csc^1/2x*(cscx*ctgx)dx

I = (-2/7)csc^7/2x + (2/3)csc^3/2x + c


Caso 2

1) ∫sen(ax)cos(bx)dx
2) ∫sen(ax)sen(bx)dx
3) ∫cos(ax)cos(bx)dx

1)
sen(ø + ƒ) = senøcosƒ + cosøsenƒ
sen(ø - ƒ) = senøcosƒ - cosøsenƒ
sen(ø + ƒ) + sen(ø - ƒ) = 2senøcosƒ

senøcosƒ = (1/2)[sen(ø + ƒ) + sen(ø - ƒ)]

2)
cos(ø - ƒ) = cosøcosƒ + senøsenƒ
cos(ø + ƒ) = cosøcosƒ - senøsenƒ
cos(ø - ƒ) - cos(ø + ƒ) = 2senøsenƒ

senøsenƒ = (1/2)[cos(ø - ƒ) - cos(ø + ƒ)]

3)
cos(ø + ƒ) = cosøcosƒ - senøsenƒ
cos(ø - ƒ) = cosøcosƒ + senøsenƒ
cos(ø + ƒ) + cos(ø - ƒ) = 2cosøcosƒ

cosøcosƒ = (1/2)[cos(ø + ƒ) + cos(ø - ƒ)]

Ejemplo:

I = ∫sen(2x)cos(5x)dx

I = (1/2)∫[sen(2x + 5x) + sen(2x - 5x)]dx

I = (1/2)∫[sen(7x) + sen(-3x)]dx

I = (1/2)∫[sen(7x) - sen(3x)]dx

I = (-1/14)cos(7x) + (1/6)cos(3x) + c